工程力学中转动方程的验证
发布时间：2014-10-15
摘 要：刚体转动方程和物体间摩擦均属于工程力学的内容。前者根据动量矩定理导出，容易被误以为随质心平动的惯性力属于外力;后者的静摩擦被划分在滑动摩擦的范畴。论文分析了刚体转动方程推倒过程对惯性力的考虑，并针对一个在重力场中运动、只受重力的单摆，进行了动力学仿真，对比了加和不加平动惯性力的仿真结果，根据机械能守恒定律，检验了仿真过程当中的机械能。理论分析和数值仿真均得出以下结论：刚体随质心的平动惯性力不能作为外力对待。因此，刚体的转动方程及其推导过程必须补充说明对惯性力的考虑。本文分析了摩擦的本质，将摩擦划分为滑动摩擦和静摩擦两类，滚动摩擦属于静摩擦，并且根据滚动阻力的影响因素给出了其定性计算式。
关键词：力学;刚体;动量矩定理;摩擦分类;核心期刊论文发表
1.引言
对于刚体定轴转动的运动方程，绝大多数工程力学参考书籍都是直接给出结果[1]，而没有推导过程;一般的力学理论参考书给出了详细的推导过程，然后直接给出了的刚体转动方程，而没有强调对惯性力的考虑。这样很容易误导人们把随质心平动的惯性力当作外力处理。
在车辆的行驶状态的预测和控制[2-3]当中，车辆的动力学仿真是其核心内容。车辆的转动方程是必须要用到的。
摩擦也是在工程计算当中经常遇到的问题，有时滚动阻力不容忽视。当前文献均将摩擦划分为滑动摩擦和滚动摩擦[4]。滚动阻力的计算形式受到限制。在电机的摩擦补偿算法[5-6]当中，摩擦力的计算模型至关重要。
本文针对上述动力学仿真当中遇到的两个问题进行研究。
2.由动量矩定理推导刚体转动方程的补充
2.1 当前的刚体转动方程推导过程
在质点系当中，质点Mi的动量 对运动参考点Q的动量矩定义为：
参照动量矩的定义式，质点系对Q点的动量矩定义为：
(1)
以固定点O为坐标原点，建立坐标系;质点系运动参考点Q的矢径为 ，速度 为绝对速度。质点Mi的矢径为：
等号两边对时间求导：
即：
考虑到质心公式 ，以及 ，其中m为质点系的质量，则质点系对固定点O的动量矩可表示为：
式中， 为整个质点系的动量;在第二项中考虑了质心公式 ，因考虑到 是由动点Q出发的矢量，故有 ， 为由Q指向C的矢径;第三项为质点系相对于动点Q的动量矩。于是有：
(2)
当Q点与质点系的质心C点重合时， ，所以式(2)为：
(3)
上式可表述为：质点系对任一固定参考点O的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心的动量对O点之矩的矢量和。
对于定轴转动的刚体，对转动轴z的动量矩可以表示为：
(4)
定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
设平面刚体绕质心轴CZ转动，由式(3)，该刚体对任一固定参考点O的动量矩应表示为：
(5)
其中， 。式(5)也可从运动学的角度进行解释：刚体的平面运动可分解为随质心的平移和相对于质心的转动两种运动的合成。第一项为刚体相对于质心转动的动量矩，第二项为刚体随质心平移时相对于固定参考点O的动量矩[7]。
由式(5)可得：
(6)
将动量矩的定义式对时间求导：
根据矢量叉乘的意义及牛顿第二定律，可得：
(7)
即：质点系对任意固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对O点之矩的矢量和。
动量定理的微分形式为：
(8)
将其等号两边分别对O点取力矩，也可以得到式(7)。
由式(7)可得，刚体绕定轴Z转动的微分方程为：
(9)
上式表明刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴力矩的代数和。如果没有说明等号左端考虑了质点随质心的平动和绕质心的转动，就很容易让人误以为没有考虑随质心平动的惯性力。只有对质心轴取矩，才可以避开这个问题。
由式(7)，当固定点与质心重合时，质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和，即：
(10)
设质点系的总质量为M，受到合力为 的外力作用，则：
(11)
上式表明：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系上的外力的矢量和。该式表示惯性力的大小。
根据式(10)、式(11)，刚体平面运动微分方程为：
， (12)
其中，m为刚体的质量。
2.2 补充说明
在解决实际工程问题时，质心不容易确定。一些工程力学书籍直接给出根据动量矩定理推导出的方程(7)和方程(9)。在不平衡系统的动力学建模当中，惯性力作为一种特殊力是必须要考虑的。在解决实际工程力学问题时，很容易误导人们列转动方程时添加惯性项，从而给计算结果带来原理误差。因此，对于方程及其推导过程均须强调对惯性项的考虑。主要有：
1)式(3)补充说明：质点系的运动由绕质点的转动和随质点的平动组成，该式说明质点系对固定点的动量矩体现了这两个运动。
2)将式(6)与式(4)由转动惯量的平行移轴定理联系起来，补充说明：刚体对固定轴的动量矩考虑了绕质心的转动和随质心的平动。
3)式(7)补充说明：动量对时间求导，出现惯性力，这是研究非平衡状态动力学问题必须要考虑的，该式的等号左端包含了该惯性力的作用。
