清代后期的天元术与代数学———中国传统数学近代化过程的案例研究
发布时间：2020-04-20
摘要：在分析清代后期天元术大致情况的基础上，比较了中算家的天元、代数观与研究兴趣，讨论了两种传统的竞争融合历程，最后对中国传统数学近代化进行了反思.认为西方数学知识的传入是近代化的前提，对西方代数学的学习以及对天元术与代数学的比较，是天元术走向近代化道路的重要步骤，天元术对代数学的接受具有促进作用，旧传统是近代化最大的阻力.
关键词：天元术;代数学;近代化;清代后期
天元术、四元术与西方代数学的融合过程，反映了中国传统数学近代化过程的主要学术特征和背景，是一个很有代表性的案例.本文将通过探讨晚清数学家研究天元术的兴趣所在，说明天元术在清代中后期兴起的学术背景，分析传统的天元术、四元术与西方传入的代数学之间的竞争与融合，阐述中国传统数学的近代化过程.
1清代后期天元术概况
天元术与四元术是13世纪中国数学的代表性成果之一，于明代失传.顾应祥在研究《测圆海镜》时，因对天元术无从下手而将“天元细草”删掉，常与他一起切蹉研究的唐顺之也对天元术一无所知.王文素虽然用到“天元”这个词，但已不理解其内容.吴敬和程大位的书中都出现过一个词“天源”，是对“天元”一词的误用.徐光启曾打算研究《四元玉鉴》，但是未能如愿.
17世纪后期，西方借根方法传入中国.梅瑴成借助它对天元术有了初步认识，发现了天元术与借根方的共性.清代中期，李锐、焦循、李潢、骆腾凤等人对天元术的阐释使其被再次理解.他们掌握了天元术的基本方法，并对与天元术相关的开方术展开了深入研究.李锐、罗士琳等人把天元术看成是“都术”，用于解决几乎所有的问题.他们对天元术与借根方的认识有一个明显的转变过程，起初数学家们对借根方有浓厚的兴趣，后来转而重视天元术.在如何应用天元术的问题上，当时也是有争论的，李潢与李锐、张敦仁在是否应该用天元术来解释《缉古算经》的问题上存在很大分歧.四元术经沈钦裴、罗士琳、戴煦等人的发掘整理，也逐渐为中国数学家再次熟悉.
1859年，李善兰与伟烈亚力合译A.DeMorgan的ElementsofAlgebra，名为《代数学》.1873年，华蘅芳与傅兰雅又译了JohnWallis的Algebra《代数术》.这两部著作的翻译引起天元术与四元术研究的热潮，仅书名中含有“天元”或“四元”字样的著作有几十种之多[1]，至于涉及天元术的著作就更多了.清代后期的天元术研究具有明显的普及特征，多是对天元术的方法、运算、应用的描述，创新性成果较少.
清代后期的天元术著作中，有一部分的主要目标还是对传统内容的阐释，包括对传统开方术的研究，如劳乃宣以古筹算诠释天元术的工作.当时的天元术著作中，研究天元术在勾股等方面的应用比较多，其内容仍是传统的，与前述传统论者不同的是，这些书的主要目的集中在应用上.19、20世纪之交，各类学校的教学也各有侧重，只教西方代数学，或者只教天元术与四元术，间或有二者都教者，但以一方为主.劳乃宣只教天元，不教代数.方恺则只教代数不教天元.由于教学有需要，清代后期出现了一批相关的教材，同时也出现了一批“课艺”.
自从西方代数学在清代后期系统传入之后，中算家在论述天元术时，不会对其视而不见，在某种程度上，当时天元术著作都是两相比较的产物.事实上，清代后期多数天元术研究者确实是将天元术、四元术与西方代数学进行比较，以求获得对这些内容的深入理解.但他们各有侧重，或以西方代数为主，或以天元术为主.
2清代后期数学家的天元、代数观与研究兴趣
清代后期算家对天元术与代数学的兴趣，与他们对二者的认识密切相关.通过比较天元术和代数学，获得对两者关系的认识，不同的算家有不同的看法.下面是几种代表性的观点.
2.1“元代相通说”
胡豫、沈光烈在《元代合参》中具体比较了天元术与代数学的异同，认为两者相通，差异体现在天元运算更加简便，代数解决问题的范围更广：
天元，中法也.代数，西法也.西法之代数，犹中法之天元也.……代数则以加代减、以减代加、以乘代除、以除代乘，即层累曲折亦多于天元，唯有时繁于天元，致用之处过之.天元所不能为，代数所能为之[2].
事实上，相较于天元术与代数学的差异，该书更关注两者的一致性，认为它们同出一理，互相有促进作用：
既明天元，方可习代数.近来畴人，习天元者每非代数，习代数者则以天元谓卑不足道，而门户之见生矣.孰知天元可化代数也，代数可证天元也.不然，中西各创其法，曾未彼此相谋，创天元者固未见代数，创代数者亦未知有天元，而如出一辙者，不过同理耳.吾故曰：代数即天元也，天元之理犹代数之理也，明理之法异而所明之理同也.存门户之见者，闻吾说其庶几乎?[2]徐锡麟赞同《元代合参》的观点，并有一定的阐发：
以已知推未知，天地人物同出一源，何古今之分，中外之划乎?元代合参，沟古今，涵中外，合为一书，经基于浑也.胡生豫、沈生光烈演诸题，余编次而删定之.二生于算学既精，习元代历有年，所嫉世之胶柱鼓瑟者，或轩中以轾西，或扬西以抑中，于元代之术均未浑化，而岂知横直相间、正负定号，有万变化耐我二原乎?[2]何寿章更进一步，认为“天元一术不但与代数相通，直与微积分、合数术无不通者也”[2].
2.2代数优于天元
华蘅芳认为“西法之代数，犹中法之天元、四元也”[3].但两相比较，他更倾向于代数.他提出学习数学的“三快”：“凡观算书有数个最快意之境界，既习九章之术，而得几何点线面体之理，以印证之，一快也.初通天元之术，知一切算题皆我法所能驭，二快也.舍天元而习代数，知天元所不能之事皆为代数所能，三快也.”[3]
他总结了学习数学的几个难点：“凡观算书有数处最难于进步，然不过此关，则终身不能再有进境矣.如已习几何之人不肯舍其条段之理而习天元，此乃先入之见误之也.已习天元四元之人，又不肯舍其剔分易位之事而习代数，此乃中西之见误之也.善学算者不存先入之见，亦不存中西之见，故其学无止境，亦无限量.”[3]
他具体分析了代数的优点：“若每事必设一题，每题必立一术，枝枝节节而为之.术之多将不可胜纪，而不可以穷数理之变.则不如任数理之万变，而我立一通法以驭之.此中法之天元，西法之代数所由作也.代数之术，其已知未知之数皆代之以字，而乘除加减各有记号，以为区别，可如题之曲折而以相迨.夫层累已明，阶级已见，乃以所代之数入之，而所求之数出焉，故可以省算学之式，而心亦较逸，以其可不藉思索而得也.……由是知代数之意乃为数学中钩深索隐之用，非为浅近之算法而设也.……至于代数、天元之异同优劣，读此书者自能知之，无待余言也.”[4]
解崇辉甚至认为代数是可以解决一切问题的“都术”：“代数术者，实能括《九章》之蕴，穷四元之变，容各家之法，兼综众妙.各为畸人家之一大都术也.”[5]
2.3强调天元的重要性
重视天元有两种情况，一是认为天元比代数更重要，二是强调国粹的观点，有时这两种观点糅合在一起，不易分清某人具体属于哪一类.李镠主讲多所学校，自称对天元术有独到的研究.李氏在《衍元海鉴》中称：“四元之学，神奇奥妙，诚中法算学中最上乘也，西人译而代之为代数.……西法借根方学中法天元之半，嘉道间天元盛，借根废.近出代数，胜于借根，而逊于天元.故精天元者能驭四元，即能驭代数，且能以天元驭微分积分也.若夫化学、汽学、电学等学均可天元比例.著时务西学元草，驭西学以中法也.”[6]他周围的算家对其工作大加赞扬，叶庆增说：“李子真能学求实用，而不为时风众势所转达移者也.”[6]
劳乃宣也强调天元的重要性.他为《衍元小草》所作的序中，表明了对待天元术的态度：“天元为中法精诣，衍之以筹，至简至妙.”[7]陶保廉在给《衍元小草》所写的跋文中说：“前明通人莫解天元，海侨夷技傲我，于是竟学西法有字之筹，罕知古人无字之筹.近世所作天元算草，误以为笔算，所写算码往往任意错杂，应横者纵，应僵者立，而无古筹足踪迹，亦晦冥不可寻绎.……每慨岛族长技大半出于数理，中国西北诸行省睹闻狭隘，訾为西法弃之如遗，往往连数州郡莫知五曹六企为何事.东南人情浮嚣，揣逐时趋，言西学，忘厥本原.”[7]这是从保存“本原”的态度出发而重视天元术的.
董化时具有很明显的国粹立场：“天元创自国华，代数创自西国……今观各学校皆以代数列入课程，极力研究，而天元一术，概不过问，甚至有不知其名者，似若天元无甚研究之价值.窃思创法者未必遽臻绝顶，必经多人研究而后精，向使以研究代数之功研究天元，则天元之进步未必不及代数之速.……今一旦存出主入奴之见，弃之如遗，甚为可惜.……学术虽贵求新知，亦不宜得新机时弃旧，舍国粹而不保存，蒙切慨然.”[8]
3两种传统的竞争与融合
天元术与代数学属于东西方两种不同的学术传统.天元术到四元术是中国传统的数学思维模式与方法，它们与借根方及后来传入中国的代数学在思想方法、术语、符号、表达方式均有很大区别.
当借根方初入中国时，因为中算家对天元术所知甚少，对其而言，借根方是新的知识体系.但当借助借根方理解了天元术之后，特别是清代中期数学家基本掌握了天元术之后，两种传统的竞争就开始了.毕竟借根方的竞争力还较弱，清代中期算家选择了天元术.
清代后期，持代数优于天元观点的算家，也会在无意识的情况下融合两者.李善兰写作《四元解》时，并未接触到代数学.当其获见《四元玉鉴》三卷，“深思七昼夜，尽通其法”[9].可见其为了弄懂四元术所尽之力.《四元解》的写作目的是，“恐初学者仍不能通，复取细草逐节绘图详释之，术虽深，读此可豁然矣”[9].这里蕴含着发扬四元术的期望.
同伟烈亚力合译《代数学》之后，李善兰比较了代数学与四元术的异同.华蘅芳的《学算笔谈》提到：“秋纫谓余曰：此(代数学)为算学中上乘功夫，此书一出，非特中法几可尽费，即西法之古者，亦无所用之矣.”[3]但这只可看作是李善兰为宣扬《代数学》夸张的说法，其实，他并未完全否定中法，甚至《代数学》里都有中法的身影.然而，《代数学》并不易理解，甚至像华蘅芳这样的学者也“批阅数页外，已不知其所语云何也”[3].
华蘅芳从李善兰那里得到《代数学》一书，从此开始学习代数学.当其对代数学有了较深入的理解之后，“然后知代数之术，其曾累曲折多于天元，故其致用之处亦比天元更广，从此以后，无时不究心于代数.……今之言算者，皆知西法之代数即是中法之四元，而其浅深难易则不可同日而语矣”[3].
但他并未完全排斥天元术，在《学算笔谈》中，对天元术与代数学做了认真的比较，得出了种种结论.他把天元与代数放在一起进行研究，把天元、四元看作整个代数系统的组成部分，颇有见解.如其所说，“代数之法繁于天元，而其用则广于天元，故既明天元方可学代数”[3].天元术不但较代数简易，而且成了学习代数的一个阶梯和工具，是不可或缺的.他也研究了传统的开方术，著有《开方古术》《开方别术》.
华蘅芳与傅兰雅同译的《代数术》对清代后期算家深入学习代数学大有裨益.丁福保论《代数术》说：“是书为代数之丛书，视《代数学》《代数备旨》较详备，编辑既精，译笔尤善，为算家必读之书.”[10]从此融合了天元术的代数学开始占上峰.
方恺的《代数通艺录》及续集，主要是普及代数学的著作，但是他还以代数的观点研究了天元术.
主张“元代相通”的学者是将天元术和代数学融合在一起的主力.胡豫、沈光烈所著《元代合参》是一部很有代表性的著作，“此书大旨在化元代之意见.世之畴人，主元则奴代，主代则奴元，二者皆门户之见累之，不知元法虽稍异，而理无别.故此书以句股测量驭题，尤见一贯”[2].书中对天元术与代数学的方法、运算、表示等都做了比较，指出了各自的优点和不足，算题都以两种方法演草.此书印行于1901年，当时数学已占据了优势.
强调天元重要性的算学家，要么意识到代数学的价值，如吴嘉善;要么以国粹等立场宣扬天元术，但他们的竞争力不够，如李镠、劳乃宣、董化时等.吴嘉善强调天元的重要性，认为“数学之有天元一术，此执简御繁之道也”[11].但他还承认代数学更具优越性：“然而简益求简，则列式以数不如列式以名.何谓数，一二三四九是也.何谓名，甲乙丙丁等字是也.夫数秘独也，而各所同也.列以数者一式只得一式之用，易一式则不能通矣.列以各者，一式而千万式资焉，故入算尤便也.”[11]虽然这样，吴氏的工作还是以天元术为主，并以简单易学为其特征，这是时人共同的看法.李善兰称：“太史(指吴嘉善)著《九章翼》，力求简易.”[12]丁福保也有类似的论述：“吴氏《算书二十一种》及《天元》《借根》《勾股细草》等书，虽觉粗浅，亦初学涉猎之资也.”[10]
对李镠来说，天元术是极精的方法，不仅可以驭四元，就连代数学、微积分也可驭.他在《衍元海鉴》中称：“近出代数，胜于借根，而逊于天元.故精天元者能驭四元，即能驭代数，且能以天元驭微分、积分也.”[6]他所著《龙山书院元草》《石鲸书院元草》及《锁闱元草》三书，均是用天元术来解决问题的.李氏的做法影响了一批人，《锁闱元草》“问天元代数其用孰长”节，李作梅有这样的论述：“则代数可算者，天元则无不可算……而天元与四元，则无如是之繁芜，孰长孰短自显.”[13]李镠等一批人显然是要用天元术来和代数学斗争，分出等级.华蘅芳还对李镠进行了批评.
劳乃宣大力研究筹算，著有《古筹算考释》及其续编，其中有用古筹算的方法来解释天元术及与之紧密相关的开方术的内容.《古筹算考释》“于古人天元用筹之法一一考明，依法运算”[14].对于筹算和天元术的关系，他认为“天元为中法精旨，衍之以筹，至精至妙.今昔人多以为难者，以未知筹法也”[15].在教学中，劳氏全力主张贯彻“以筹演草”思想.《衍元小草》由孔庆雯、孔庆霭和劳絅章共同完成，它“专以用筹之法衍草，所绘之式俱按《古筹算考释》程式，与古书稍异”[7].
劳氏的做法与其“古胜于今”思想直接相关，他认为“中国文明开于先，以唐虞三代为极盛，故古胜于今”[16].劳氏的观念影响了其对数学问题的分析：“试观古人筹算之法，囊括万有，无所不赅.虽后世积人积智，新理日出，而加减乘除之体，纵横正负之用，百变而莫出其范围.”[15]
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董化时的工作是在20世纪初期做出的，当时天元术已经基本上被代数学取代了.他著有《元代合草》(1920)和《元代汇通》(1922)二书.观其书名，似欲将天元术与代数学融合起来，但其主要目的是要在天元术上有所发挥，以体现天元术的价值.他的想法是“窃思创法者未必遽臻绝顶，必经多人研究而后精，向使以研究代数之功研究天元，则天元之进步未必不及代数之速”[8].然而他自己也认识到，当时以天元来和代数相抗衡是无望的.如其所言，“吾国往往屈于强势，以现时代数遍行大地，而欲以半死不活之天元与之抗衡，何啻螳臂当车、以卵击石”[16].
