工科线性代数教学中的数形结合

发布时间：2020-04-13

　　摘　要：工科学校中线性代数的教学有许多都停留在让学生掌握计算方法和技巧，至于背后的深刻道理以及学习目的许多时候不被大家重视，这一方面会导致学生学习目的不明确，丧失学习的动力和主动性，另一方面也会导致理论与实践的脱节。数形结合的方法是数学教学和学习的基本方法，在大学数学的教学中也能化抽象为具体，从看似抽象的概念中找到简单的几何直观。

　　关键词：数形结合;线性代数;行列式;线性变换

　　数形结合是数学的一种思想方法，数和形作为数学研究过程中的两个古老也是基本的研究对象在中学数学中已经有了充分的体现，那么在大学数学的学习和教学过程中，数形结合这种思想过时了吗?回答当然是否定的，我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。数和形反映的是事物两方面的属性，而数形结合就是建立两者之间的一种对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，把抽象思维与形象思维相结合，从而加深对概念的理解，同时也能拓宽解决问题的思路。

　　一　现状分析

　　在大学的数学课程中，线性代数课程是高等院校工科专业的一门基础课程，同时也是研究生入学考试的必考科目。我们都知道，高等代数和数学分析是数学专业学生的两大基础，作为工科专业的数学基础课程就是高等数学和工程数学，其中的工程数学一个重要组成部分就是线性代数。在线性代数的教学过程中，不少同学对于这一课程的感受是：繁琐的计算、冗长的变换、抽象的概念等等。其实，我们对于代数的认识从小学到中学就在逐步建立，例如，从数的认知，到代数表达式以及方程、方程组的了解等等。然而，当大学生开始学习线性代数时，许多人却发现代数突然就变得面目全非了。为什么会这样呢?

　　从教材的内容安排来看，多数工科院校一般采用同济大学版的线性代数工科教材，当然也有一些学校采用其他的或者自编教材，我们以同济版的教材为例，其章节安排是这样的：第一章节是行列式，第二章节是矩阵，第三章节是初等变换，第四章节是方程组，第五章节是关于二次型。从内容的安排和逻辑性来看，由浅入深，体系完善，这些都无可厚非。但对于学生而言，他们似乎一直是在做计算以及抽象的变换，这些计算和变换可能有时并不困难，但是许多同学会问为什么要这么定义和计算呢?有什么意义呢?

　　另一方面，从一般高校对这门课程的授课时间和授课对象来看，工科线性代数一般是在大学一年级的第二学期或者大学二年级的第一学期开始授课，这时期的学生刚刚接触了高等数学的一些初步知识，数学思维初步建立，但还没有真正理解近代发展起来的高等数学的实质。同时，他们对专业课程的学习一般还没有开始，所以头脑中也没有太多工程应用的背景。这些就导致了学生在学习过程中的目的不明确，对知识学习感到枯燥和茫然不知所措。此时如果我们能在授课过程中充分利用数形结合的方式，给学生一些几何上的直观，这对于学生的理解以及对课程的认识都会是一个很大的帮助，课堂教学也会收到很好的效果，这样也能有助于纠正学生学而无用的错误思想。

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　　二　数形结合实例分析

　　在数学的学习和研究中，数形结合是一个常用的，同时也是有效的方法。对学生来说并不陌生，例如在中学数学中解决代数问题是经常也会借助于几何图像，这样能更加直观地了解问题，再比如，解析几何也是典型的数形结合，用代数的方法解决几何问题。所以，学生对于数形结合的方法并不陌生，也比较容易接受。那么在线性代数的教学过程中怎样进行数形结合呢?我们通过以下几个例子来进行说明。

　　行列式中如果出现两行元素对应成比例或者相等，那么相当于有两条边是平行的或者重合的，当然容易理解，相应的行列式值就是0。我们在进行行列式计算时，把行列式转化成对角形，例如三阶行列式，这个对角化的过程从几何直观看，就是把一般六面体变化成一个等体积的长方体的过程。这样利用几何图像的直观，以形助教，可以帮助学生较好的掌握行列式的概念和性质，同时也有助于活跃思维，让知识融会贯通，而不是仅仅局限在利用一成不变的方法进行简单的计算。

　　是同维向量，如果存在r个不全为零的数k1，k2，…kr，使得k1+k2+…kr=0，则称这r个向量是线性相关的，否则称为线性无关的。通常的讲解中，我们会把向量组的线性相关线性无关性与以向量的元素作为系数的线性方程组联系起来，线性相关对应于齐次线性方程组有非零解，而线性无关则对应于齐次线性方程组只有零解。如果引入几何图像的直观，两个2维向量线性相关从数值上看，是对应分量成比例，从几何上看就是，图像是平行的或者共线的，进一步地就是说两个向量张成的平面图形面积为零。同样的，三个3维向量，若线性无关，那么这三个向量能张成3维空间的一个六面体，否则三维体积为零。另外，通过这样的几何直观，也会让学生对于向量空间的概念更容易接受，我们可以把它看作是三维空间的推广，由于维数更高，所以我们在日常的生活中不能直观地看到，只能想象。

　　我们再来看关于线性变换以及矩阵的秩的概念。首先，对于向量的线性变换可以看作是对于向量的长度的伸缩和角度的旋转。向量组的秩与对应矩阵的秩相同，从几何角度看，秩反映的是这些向量组能构成的具有非零体积的几何形状的最大维数。进而也可以自然地引入向量空间以及空间维数的概念。

　　从以上这些例子的说明，我们可以看出，在线性代数这一看似抽象的课程的教学过程中，利用数学结合的方式，可以有效地将一些形式的概念和结论与我们直观上容易理解的事实相联系，这对于问题的掌握、激发学生的学习积极性、拓宽学习思路都大有裨益，其教学效果在本人从事线性代数教学的实际过程中，也有明显的体现。事实上，在数学专业的教学中，南开大学数学系已经进行了这样的改革，把高等代数和解析几何统一为一门课程，得到了同行的普遍认同，并且已经被评为国家精品课程。对于非数学专业的工科大学生而言，对数学理论知识的要求无需像专业的学生那么深，但适当的引入几何直观无论从教学效果还是从帮助学生理解上来看都是非常必要的。