高等数学教学案例研究

发布时间：2019-11-16

　　摘 要：为了提高《高等数学》课堂教学的趣味性和有效性，笔者设计了一些可行性的教学案例。本文以“平面的点法式方程”这一内容为例，提出如下的教学案例：趣味视频，引入新课;有效设问，引导思考;推导证明，归纳结论;应用举例，巩固练习;内容总结，布置作业。通过课堂实践和学生反馈，教学效果良好，激发了学生学习高等数学的热情，培养了学生的逻辑思维能力，有效地发挥了学生学习的主动性。

　　关键词：高等院校;高等数学;教学案例;平面的点法式方程

　　高等数学是高等院校理工类各专业必修的公共基础课，内容繁多，而且由于所介绍的内容并非能直观地观察、体会到，因此对于大多数学生而言，它是一门难度相对较大的课程。我们经常说“数学来源于生活”，的确，高等数学中许多的问题和思想都来源于我们的现实生活。由于高等数学教材篇幅有限，并不能丰富地展现数学与日常生活的联系，所以教师要善于搜集各种教学素材，使抽象的数学问题变得更加具体、更接近我们的生活，让学生体会到数学就在身边的感觉，让学生们发现数学应用的广泛性和其独特的魅力。

　　一、教学背景

　　向量代数与空间解析几何是高等数学课程的重要内容之一。向量代数主要研究向量的相关概念及向量的运算;空间解析几何主要研究平面、曲面、直线、曲线等问题。平面的点法式方程是《高等数学》教材第八章第三节中第二部分的教学内容，在大学一年级的第二学期进行教学。平面的点法式方程是用向量代数的知识来解决空间解析几何的问题，是向量与立体几何的第一次“结合”，同时为后面继续学习曲面方程、曲线方程奠定了基础，因此，本节的学习具有十分重要的理论价值和实际意义。

　　二、教学目标

　　本课程的教学目标包括以下三个方面[1]：

　　(一)知识目标

　　理解平面的法线向量的概念，以向量作为工具建立平面的点法式方程，熟记平面的点法式方程的公式，掌握应用平面的点法式方程去解决问题的方法和步骤。

　　(二)能力目标

　　培养学生用数学语言准确地阐述思想和观点的能力，使其感受数形结合的数学思想，进而加深对向量代数的理解;通过平面的点法式方程的推导和证明，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，在探寻数学概念之间关系的过程中发展思维，灵活地运用思维。通过应用举例，培养学生运用数学的相关知识去解决实际问题的意识和能力。

　　(三)情感目标

　　通过问题的引入，使学生认识到数学是从生活中来、到生活中去的，了解数学知识在实际生活中的作用，使学生更好地体会数学的本质，感受数学的迷人魅力，从而提高对高等数学的学习兴趣。

　　三、教学设计

　　结合学生的学情和教学内容的特点，设计“提出问题—探索问题—得到结论—解决问题”这样一个教学过程。

　　(一)趣味视频，引入新课

　　在新课引入的环节，很多教师采用比较直接的、固定的模式，首先，简要回顾和复习上节课的学习内容;然后，开门见山地交代这节课的学习内容，即“上节课我们一起学习了某知识，本节课我们将继续学习什么什么”，可是这样的教学方式在一定程度会打消学生学习数学的积极性，因此一定要认识到新课的引入环节在高等数学教学中的重要性。

　　新课的引入没有固定的形式，可以是引经据典，谈古论今，洋洋洒洒;也可是市井生活，借题发挥，寥寥数语;还可以是答疑解惑，妙语连珠，指点要津，关键是能给学生以启迪，激发学生的学习兴趣，让学生对即将学习的新知识充满好奇或渴望，同时感受数学的别样魅力[2,3]。

　　“平面的点法式方程”的课程导入分四个层次进行。首先通过介绍生活中随处可见的平面，比如：水平的操场，太阳能电池板，教室中的地板面、桌面、黑板等等，让学生初步感知空间曲面最简单的形式——平面。接着通过观看2008年北京奥运会开幕式的一段视频，让学生认识我国古代沿用达几千年之久的计时仪器——日晷;再通过北京故宫博物院内日晷的图片，让学生对日晷的晷面和晷针有进一步的了解，这种凝聚着数学智慧的文物，力求让其成为学生发现问题、研究问题的素材，发挥其数学的文化价值。最后通过动手制作简易的日晷模型，让学生体会晷面与晷针的位置关系，引导学生思考“什么叫做平面的法线向量?”这个问题。通过上述的课程引入，调动了学生的各种感官，激发了学生学习高等数学的热情。

　　(二)有效设问，引导思考

　　首先，通过介绍晷面与晷针的位置关系，引出平面的法线向量的概念，利用幻灯片给出法线向量的定义。将晷面与晷针的位置关系作为讲解的切入点，更容易激发学生的学习兴趣。接下来，通过“老师问、学生答”的师生互动方式，对平面的法线向量进行深入地分析，更好地发挥学生学习的主动性。教师提出下面的三个问题，引导学生集体回答，并给学生一定的思考时间。

　　问题1：平面的法线向量是唯一的吗?

　　学生们集体回答以后，教师对学生的回答给予回应，并公布正确答案：不唯一。如果同学们回答得不正确，最好不要直接否定，一定要委婉地指出并给予正确的引导，以免打击学生们学习的积极性，不愿意和老师互动。接着，教师通过日晷模型配合肢体语言进行讲解：与平面的法线向量平行的向量有无数个，这无数个向量都垂直于该平面，因此平面的法线向量不唯一!

　　问题 2：平面的法线向量与该平面内任意一个向量的位置关系是怎么样的?

　　学生们集体回答以后，教师对学生的回答给予回应，并公布正确答案：垂直关系。接着，教师带领学生一起回顾中学时学过的定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么，该直线一定垂直于这个平面内的任何一条直线。因此可以得到结论：平面的法线向量一定垂直于平面内的任何一个向量。问题 3：已知平面 上的一点 M0 和它的一个法线向量 n，那么平面 是否被唯一确定?学生们集体回答以后，教师对学生的回答给予回应，并公布正确答案：唯一确定。接着，教师带领学生一起回顾中学时学过的定理：过直线外一点与该直线垂直的平面，有且只有一个。因此可以得到结论：过点 M0 且法线向量为 n 的平面，有且只有一个。教师通过提问问题引导学生动脑思考，使学生深刻理解了法线向量的定义，同时也为接下来推导平面的点法式方程做了铺垫。

　　(五)内容总结，布置作业

　　本节课首先介绍了平面的法线向量的概念，并对其进行了深入的分析;然后推导出平面的点法式方程的公式;最后应用平面的点法式方程解决了两道例题。通过多媒体将内容大纲跃然“幕”上，可以帮助学生对本节的主要内容进行梳理，使学生迅速地在头脑中形成知识脉络，巩固本次课所学的知识。请同学们课后认真思考：已知任一平面都可以用它上面的一点以及它的法线向量来确定，因此任一平面都可以用一个三元一次方程来表示。那么，反过来，任一个三元一次方程是否一定表示一个平面呢?通过布置课后思考题，为本课程的后续学习作铺垫。最后布置课后作业，考虑到不同学生之间的个体差异，作业可分基本型必做题和提升型选做题两类，以便满足不同学生不同目标的学习需求。

　　四、教学反思

　　数学中每个知识点的学习都是通过先提出问题，然后进行讨论，最后得到结论这样的一个过程。本节课的教学从实际问题出发，引入问题进而分析问题，对于结论的探索是逐步进行的。平面的点法式方程并不是直接给出方程的形式，而是先从法线向量性质的探讨开始，让学生充分体会平面与它的发现向量之间的关系，为后面推导平面方程做好铺垫。在教学过程中，更应注重师生之间思维上的交流和互动，通过“教师问、学生答”的方式，尽量让学生的思维活跃起来，积极主动去探索，而不是教师一个人的独角戏，使学生被动地去接受，这样才能达到比较满意的教学效果。

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